Nicolau II Bernoulli foi um matemático e jurista suíço. Em 1709, aos 13 anos, estudava matemática e direito na Universidade de Basel. Neste mesmo ano, utilizou a matemática para calcular a probabilidade de inocência de um acusado e a confiança que merecia uma testemunha. A ele é creditado os primeiros escritos de jurimetria, o uso da estatística no direito.

A jurimetria não se confunde com a análise econômica do direito - AED, que aplica técnicas econométricas, uma junção de estatística e economia, como a teoria da alocação eficiente de recursos.

Em tempos mais recentes, Loevinger inseriu em 1992 a inferência bayesiana e a álgebra booleana na argumentação jurídica. Posteriormente, Joseph Kadane alertou, em artigo de 2006, sobre os riscos do uso indevido de estatísticas bayesianas nos tribunais, demonstrando a possibilidade de gerar injustiças e discriminações. No debate atual, tem sido discutido o chamado viés de algoritmo, presente em programas de computador utilizados por órgãos públicos e privados, cujos cálculos podem embutir preconceitos subjacentes sob um manto de imparcialidade.

Como visto, o uso da matemática no direito não é nenhuma novidade. Em diversos ramos do direito os cálculos matemáticos foram adotados como ferramenta para aplicar a justiça no caso concreto, como nos cálculos de liquidação. Mesmo o uso do arbitramento, seja na aplicação de sanções ou no estabelecimento de valores, exige um raciocínio de proporcionalidade do julgador, cujo método é essencialmente matemático, ainda que limitado apenas ao plano mental.

O Brasil possui uma cultura de alta litigiosidade, tendo atraído soluções de massa para arrefecer o problema, como a tendência atual em IA, "big data" e "lawtechs". A expectativa é que o uso da aprendizagem de máquina proporcione algoritmos que evoluam naturalmente para a solução dos mais variados litígios da sociedade, desde a análise de contratos até sanções penais.

Por muito tempo, a informatização do serviço judicial não avançou além da adoção de computadores como máquinas de escrever modernas. Mas essa realidade mudou com o implemento de tarefas automatizáveis a cargo de programas especialmente desenvolvidos para finalidades específicas que se adaptam à medida que são utilizados. Da mesma forma, a busca em bancos de jurisprudência simplifica o trabalho dos juristas. Tarefas mais complexas, como o exame de falhas contratuais, também são realizadas de forma mais rápida e eficiente por computadores.

Algumas novidades são dignas de nota. O TJRN desenvolveu o programa Poti, que efetiva o bloqueio de valores depositados em instituições financeiras. Programa idêntico foi desenvolvido pelo TJRS. No TJMG foi desenvolvido o programa Radar, que possibilitou o julgamento de 280 recursos em menos de um segundo, com o uso de acórdãos padronizados. Todas essas tarefas foram realizadas sem interferência humana direta. Em diversos tribunais do país há laboratórios desenvolvendo programas similares.

O CNJ divulga anualmente o relatório Justiça em Números, com o ranking de produtividade entre os tribunais do país. Medir a qualidade do serviço judicial sempre foi um desafio. O relatório é assinado por três estatísticos, e utiliza o método varimax para obter o escore de cada ramo da justiça. A fim de categorizar cerca de uma centena de tribunais, divididos em três portes, o relatório lança mão da técnica ACP, que usa um vetor aleatório, com matriz de covariância associada, e pares de autovalores-autovetores, cujas definições constam na álgebra vetorial.

Por sua vez, o relatório calcula o índice de produtividade “IPC-Jus” utilizando as respostas a 810 variáveis selecionadas encaminhadas pelos tribunais. A análise dos dados é realizada pelo método DEA, utilizado em engenharia de produção, e adota o modelo CCR, com uma variação proporcional entre os recursos dos tribunais (inputs) e o serviço produzido (outputs).

Essa metodologia visa fazer uma comparação justa dos esforços humanos e orçamentários, bem como apontar os gargalos que devem ser priorizados. No entanto, ao lado de inputs controláveis, como os recursos financeiros e humanos, existem inputs não controláveis, como o nível de demanda judicial, que difere bastante entre as regiões do país.

Além disso, há enorme diferença entre os estados nos quesitos acesso à justiça, estruturação e interiorização da defensoria pública e PIB per capita, todos com impacto na quantidade e na resolução de conflitos judiciais.

O relatório indica como principal output na mensuração da eficiência do tribunal a variável "total de processos baixados", como representativa do fluxo de processos do judiciário sob a perspectiva do jurisdicionado, que aguarda a solução do conflito.

Pedro Rubim Borges Fortes, em trabalho de 2015 sobre o tema, observou a virada matemática proporcionada pelo relatório Justiça em Números, que inaugurou a cultura de competição entre magistrados e tribunais. Ao lado do relatório do CNJ, a corregedoria de alguns tribunais, inclusive superiores, utilizam suas próprias estatísticas e índices de produtividade

Contudo, no artigo “Justiça Resolve Conflitos?”, de abril de 2021, Kiyoshi Harada discorda desses dados. Para ele, há grande diferença entre a solução da lide e a solução do conflito de interesse entre as partes. As crescentes estatísticas dos tribunais computam denegações de agravos e rejeições de embargos aos milhares, todos com acórdãos padronizados. Só há efetiva composição do conflito quando se decide o mérito da causa, inclusive com a revaloração da prova, que requer intenso exercício mental.

A aposta é que a estatística, tratamento de dados em massa e IA possam trazer o problema da litigiosidade para um nível gerenciável. Semelhante expectativa se aplica à segurança pública e aos processos criminais. A administração mais rápida da justiça é uma das mais prementes necessidades do país, e surte efeitos em muitos âmbitos, como a expedição e pagamento de precatórios.

No campo teórico, as correlações estatísticas nem sempre possuem uma explicação definitiva de causa e efeito, o que não lhe retira a utilidade prática. A Lei de Zipf, por exemplo, oriunda da estatística empírica, prevê que em um conjunto de textos a palavra mais frequente ocorrerá duas vezes mais vezes que a segunda palavra mais frequente, três vezes mais que a terceira mais frequente, e assim por diante. A explicação para fenômeno estatístico pode estar no princípio do mínimo esforço, apesar de não existir uma interpretação causal. Ainda assim, sua validade é incontestável, à semelhança da validade empírica da Lei dos grandes números.

De outro modo, especialistas têm alertado para o surgimento de problemas com a inteligência artificial. No livro “Atlas of AI”, argumenta-se que a IA não é nem artificial nem inteligente. Não é artificial porque consome quantidades enormes de recursos naturais, combustível e energia em seus processos, além de necessitar de intenso trabalho humano para funcionar. E não é inteligente por não se equiparar à mente humana.

De fato, o encéfalo é um órgão humano produzido pelo aprimoramento de bilhões de anos no complexo mecanismo natural da evolução. Na década de 1950, quando surgiu a IA, imaginava-se que a mente humana funcionava como um computador, mas com o aprofundamento da neurociência essa comparação foi descartada. Porém, na comunidade da ciência da computação esse elo persistiu durante anos e ainda estimula seus entusiastas. 

Mas a IA não consegue discernir diferentes fenômenos sem intenso trabalho humano. A suposta emulação do cérebro é controversa, ou se limita a um cérebro infantil, que necessita de muitos tutores. Essa restrição não impediu que ela fosse adotada em alguns países para decidir quais acusados ficarão sob fiança, por exemplo.

Na década de 1980, surgiu a ímpeto pelo “big data”, com tratamento de conjuntos de dados sem preocupação com o seu conteúdo e contexto. Todavia, dados em massa não são uma substância inerte, e devem ser analisados de acordo com o contexto em que foram produzidos. A utilização indiscriminada do aprendizado de máquina pode trazer mais problemas que soluções. Há uma tendência de usar a técnica para captar emoções, como as expressões de acusados em tribunais ou de possíveis delinquentes em lojas. Um debate ético é necessário para que não se regresse à frenologia de Lombroso.

Até exércitos têm tido problemas com IA. Algumas armas modernas que possuem essa tecnologia embarcada atacaram seus próprios instrutores. Já ocorreram acidentes deste tipo com drones autônomos e tanques miniaturizados.

Em conclusão, impende salientar que a quarta revolução industrial está apenas no início, como mostra a disputa comercial entre ChatGPT 4.0 e DeepSeek-R1, por exemplo, e as instituições judiciais devem se adaptar. Como nas demais revoluções, há previsão de fechamento de postos de trabalho (em torno de 90 milhões) e criação de novos postos (cerca de 120 milhões). A utilização de estatística empírica, métodos numéricos e IA no direito podem ser promissores se forem utilizados com inteligência e cautela, sem camuflar uma falsa produtividade.

APÊNDICE: Supedâneo da Matemática nos Diversos Ramos do Direito.

Diversos ramos do direito lidam com cálculos, limitados quase sempre às quatro operações básicas da aritmética. No direito penal, cálculos são realizados para a dosimetria da pena, prescrição e benefícios da execução, tais como progressão de regime e livramento condicional. As leis penais estão repletas de frações que sopesam circunstâncias que refletem a gravidade dos delitos no plano concreto.

Como exemplo, no concurso heterogêneo entre causas de aumento e diminuição de pena, não se aplica a interpretação literal do art. 68, prevalecendo o critério mais benéfico ao réu. No caso de penas previstas em anos, a ordem de incidência entre causas de aumento ou diminuição não fará diferença na prática. Considere uma pena intermediária de 6 anos de reclusão, com o concurso de uma causa de aumento de 1/2 e uma causa de diminuição de 1/3. O aumento de 1/2 resulta em 9 anos, e a diminuição posterior de 1/3 resulta em 6 anos. Já a diminuição em 1/3 resulta 4 anos, e o aumento posterior de 1/2 resulta em 6 anos. Nesse caso, de incidência de frações em números redondos, a ordem dos fatores não altera o produto.

No entanto, não é incomum a pena intermediária resultar em número fracionário, consistente em anos, meses e dias, em especial considerando a praxe de aumentar a pena base em 1/8 por cada vetor desabonado das circunstâncias judiciais e em 1/6 no caso de agravantes. Assim, considere a fixação na segunda fase da dosimetria de uma pena de 5 anos, 4 meses e 10 dias. Nesse caso, a melhor opção para o réu é iniciar o cálculo da terceira fase de dosimetria pela maior fração, seja ela aumentando ou diminuindo. Isso porque as operações incidirão sobre frações do ano, o que fará com que a ordem dos fatores altere o produto.

No exemplo da pena fracionada acima haverá: 5 anos inteiros + 1/3 do ano + 1/36 do ano. Se a causa de aumento é de 1/2, ela deve incidir primeiro, seguindo-se a causa de diminuição de 1/3. Por outro lado, se a causa de diminuição é de 1/2, ela deve ser aplicada primeiro, seguindo-se a incidência da causa de aumento de 1/3. Logo, na terceira fase da dosimetria, no caso de pena fracionada, deve incidir primeiramente a maior fração, independentemente se for causa de aumento ou diminuição, a fim de alcançar a pena definitiva mais benéfica ao réu.

De outro giro, na prescrição da pretensão punitiva, o cálculo deve considerar os prazos indicados no art. 109 do Código Penal. Considere-se um réu condenado pelo crime de lavagem de dinheiro à pena definitiva de 8 anos, sendo 6 anos de pena intermediária mais 2 anos pela continuidade delitiva. O réu tinha a idade de 40 anos na data do crime, considerando a data da última conduta em continuidade delitiva, e 53 anos na data da sentença condenatória. A pena máxima cominada ao crime de lavagem é de 10 anos, atraindo a prescrição abstrata de 16 anos, contada entre a data do fato e a sentença condenatória.

A partir da publicação da sentença condenatória, em não se verificando a prescrição em abstrato, verifica-se a incidência de dois outros períodos prescricionais: prescrição intercorrente e retroativa. A prescrição retroativa está prevista no art. 110, § 1º, do CP. Seu termo inicial é a data da denúncia ou queixa. Nessa modalidade, o prazo prescricional é contado para trás, a partir da publicação da sentença condenatória. A redação do dispositivo não deixa claro se o termo inicial é o oferecimento ou o recebimento da denúncia.

A interpretação mais favorável ao réu é a que considera a data do oferecimento da denúncia, já que elastece o prazo considerado na contagem. Afinal, quanto mais distantes os termos inicial e final, mais chances tem o réu de gozar do benefício da prescrição.

É possível que entre o oferecimento e o recebimento da denúncia decorra prazo considerável, como na impetração pelo réu de Habeas Corpus contra o recebimento da denúncia, já que inexiste recurso específico. Por sua vez, contra a rejeição da denúncia é possível interpor Recurso em Sentido Estrito. Nesse último caso, somente com a retratação do juiz ou com o provimento do recurso pelo tribunal é que a denúncia considera-se recebida. Além disso, o STF entendeu ser indevida a determinação judicial de emenda da denúncia, uma vez que a prática fere o princípio acusatório e protela o seu recebimento.

No entanto, malgrado ser mais prejudicial ao réu, o STF encampou a data de recebimento da denúncia como termo inicial da prescrição retroativa, considerando que o art. 117, I, do CP indica o recebimento como marco interruptivo da prescrição.

De outro giro, a prescrição intercorrente é contada para frente, também considerando a pena concretizada na sentença. Entre a sentença e a decisão definitiva deve transcorrer prazo inferior a 12 anos no caso acima, sob pena de configurada a prescrição. Interpretando o art. 117, IV, do CP, tanto o STF quanto o STJ entenderam que o acórdão condenatório sempre interrompe o prazo prescricional, ainda quando confirmatório da sentença, seja mantendo, reduzindo ou aumentando a pena imposta. A interrupção tem por efeito o reinício da contagem do prazo prescricional.

Contudo, se o acórdão modificar a pena, é necessário averiguar se não houve alteração do prazo de prescrição. Caso o tribunal tenha elevado a pena em mais um ano, a contagem da prescrição irá considerar o prazo de 16 anos. Por outro lado, se o acórdão reconhecer a colaboração do réu, disposta no art. 1º, § 5º, da Lei 9.613/98, reduzindo a pena em 1/2, o prazo de prescrição será de 8 anos. Esse novo prazo será contado entre o acórdão reformatório e a decisão definitiva, seja em sede de Recurso Especial ou Recurso Extraordinário.

De seu turno, no cálculo da unificação da pena, é necessário observar a data do novo fato considerado. No caso de um réu condenado por quatro crimes a penas de 20 anos cada um, sua pena total será de 80 anos. Essa pena será considerada para o cálculo dos benefícios penais, como a progressão de regime. No entanto, para efeito de cumprimento, serão as quatro penas unificadas em uma pena única de 40 anos, que é o limite legal.

Suponha-se que após 10 anos de cumprimento da pena unificada dos quatro crimes, sobrevenha nova condenação à pena de 20 anos em virtude da prática de novo delito. Se a data do fato desta nova condenação for posterior ao início do cumprimento da pena unificada, será feita nova unificação, desprezando-se o tempo já cumprido. Somam-se os 20 anos da nova condenação aos 30 anos restantes de pena a cumprir, chegando-se ao total de 50 anos.

Para efeito de cumprimento, as penas de 20 e 30 anos serão novamente unificadas em 40 anos, a fim de atender o limite legal. Considerando os 10 anos já cumpridos, o réu acabará por cumprir uma pena total de 50 anos. No entanto, para efeito de benefícios penais, ainda será considerada a pena de 80 anos aplicada no início.

Já se a data do fato da nova condenação for anterior ao início do cumprimento da pena, os 20 anos da nova pena serão somados aos 80 anos iniciais, chegando-se à pena de 100 anos. Essa pena será unificada em 40 anos, não havendo o descarte dos 10 anos já cumpridos. Nessa situação o réu cumprirá um total 40 anos de pena, e não 50 anos, como no caso anterior. Mas os benefícios penais serão calculados sobre a nova pena de 100 anos.

A matemática também está presente no direito previdenciário. RMA é definida como RMI atualizada. O atual cálculo da RMI (renda mensal inicial) considera a média de 100% dos salários de contribuição, não havendo mais o descarte de 20% dos menores salários do período. Esse descarte possibilitava uma média de salários maior ao beneficiário. O cálculo do auxílio acidente é feito aplicando o coeficiente de 50% sobre a renda mensal inicial. Esse valor é bem inferior ao salário do beneficiário, tendo em vista que tem natureza indenizatória. A aposentadoria por invalidez temporária utiliza o coeficiente de 91%.

Já a aposentadoria por invalidez permanente é calculada utilizando o coeficiente de 60%, somando-se 2% por ano de contribuição que exceder 20 anos, no caso de homem, e 15 anos, no caso de mulher. Assim, um homem que contribuiu por 22 anos, terá sua aposentadoria por invalidez permanente de 64% do RMI (os 2 anos excedentes de 20 x 2% = 4%). O valor dos proventos pode ser aumentado em 25%, caso o aposentado necessite de acompanhante. Matematicamente, a invalidez temporária importa em proventos superiores à invalidez permanente, exceto para homens com mais de 40 anos de contribuição, ou mulheres com mais de 35 anos de contribuição.

Outro exemplo é o cálculo do fator previdenciário. Ele segue a fórmula: F = {(Tc x a)/Es x 1+[id (Tc x a)]/100}, onde Es é a expectativa de sobrevida, Tc é o tempo de contribuição, id é a idade e “a” é a alíquota de 0,31. O cálculo pode resultar em fator maior, igual ou menor que 1, sendo multiplicado pelo salário-de-contribuição. Quase sempre o fator é inferior à unidade, resultando em diminuição do salário-de-benefício. Como exemplo, considere um segurado com 35 anos de contribuição, 55 anos de idade, expectativa de sobrevida de 24,3 anos e R$ 1.800,00 de média dos 80% maiores salários-de-contribuição. O fator será de: F=35 x 0,31/24,3 x 1+(55 + 35 x 0,31)/100, que resulta em F=0,7405. O salário-de-benefício será então: R$1.800,00 x 0,7405 = R$ 1.332,90. Nesta situação, é preferível ao segurado contribuir mais alguns anos, por ser relativamente jovem, incrementando o Tc e a Id, que estão no numerador, e diminuindo a Es, que está no denominador. Com isso é possível chegar a um fator entre 1,2 e 1,3, com benefício ao segurado.

Nos direitos fundamentais, o raciocínio matemático é visto na fórmula do peso elaborada por Alexy, cujas variáveis são: a intensidade de intervenção de um princípio sobre o outro; os pesos abstratos dos princípios colidentes; e o grau de segurança na suposição empírica. Antes de ser uma "impostura intectual", a fórmula visa restringir a subjetividade e o decisionismo nos tribunais.

Na elaboração da fórmula, o autor preferiu a forma de um quociente ao invés de uma diferença, por ser mais fiel ao seu raciocínio. Considerando a miríade de acontecimentos que podem influenciar um caso concreto, Alexy propõe uma progressão geométrica, em detrimento da aritmética, já que essa sempre observa uma igualdade nos intervalos entre graus. A progressão segue a sequência 2º, 2¹ e 2², que resulta em 1, 2 e 4.

Na pág. 147 de seu obra, Alexy apresenta a fórmula ampliada, no chamado modelo triático duplo, possuindo fatores de 1 a 9, e potências da progressão geométrica de 0 a 8 (2⁰ a 2⁸). O cálculo da fórmula expandida pode resultar em um princípio com peso ponderado em 256, a depender da análise da colisão em concreto.

A contabilometria alia conhecimentos contábeis com as técnicas matemáticas, como o cálculo integral e diferencial. A contabilidade tributária e trabalhista utiliza a matemática para extrair os valores devidos ao governo e aos trabalhadores. Nos cálculos trabalhistas, algumas verbas integram a base de cálculo de outras, fenômeno conhecido como repercussão ou reflexo, tornando o cálculo mais complexo. Da mesma forma, no direito tributário, em alguns casos, o tributo que está sendo calculado deve integrar a sua própria base de cálculo.

No direito tributário, existe a previsão de juros regressivos, que decaem a partir do ajuizamento da ação, calculando-se o decréscimo de 1% a.m., como no caso de complementação de aposentadoria. Previsão semelhante encontra-se no art. 170, parágrafo único, do CTN. Segundo esse dispositivo, a lei pode prever uma redução do montante de até 1% a.m., contado o decréscimo entre a data da compensação e a do vencimento do tributo. Já os juros crescentes são previstos no art. 161, § 1º, do CTN.

O CPC/2015 também prevê no art. 916 a possibilidade de parcelamento na execução, incidindo juros de 1% a.m., durante o período de seis meses. Tanto os juros regressivos quanto os progressivos devem ser calculados de forma simples. Os juros regressivos possuem alíquota única, e seu cálculo resulta no decréscimo da dívida. Diferem-se dos juros decrescentes, que possuem alíquotas regressivas, resultando numa dívida maior.

Um exemplo de juros regressivos está no art. 170 do Código Tributário Nacional, o qual dispõe: “a lei pode, nas condições e sob as garantias que estipular, ou cuja estipulação em cada caso atribuir à autoridade administrativa, autorizar a compensação de créditos tributários com créditos líquidos e certos, vencidos ou vincendos, do sujeito passivo contra a Fazenda pública. Parágrafo único. Sendo vincendo o crédito do sujeito passivo, a lei determinará, para os efeitos deste artigo, a apuração do seu montante, não podendo, porém, cominar redução maior que a correspondente ao juro de 1% (um por cento) ao mês pelo tempo a decorrer entre a data da compensação e a do vencimento.”

A regressão no valor do débito pode se dar de forma simples ou composta. Para esta hipótese utiliza-se a fórmula pv=fv (1-i)^t. Assim, um crédito vincendo de R$ 1.000,00 em junho a ser compensado em janeiro do mesmo ano, deverá ser convertido ao valor atual seguindo o cálculo: 1.000 (1-0,01)^6; 1.000 (0,99)^6 = R$ 941,48. Esse é o valor do crédito que o contribuinte pode compensar com os tributos que deve à fazenda pública pela regressão composta. Já pela regressão simples, o cálculo será 1.000 - 1.000(0,1 x 6) = 940.

A regressão simples ou composta não se confunde com os juros simples ou compostos. De fato, no caso de juros compostos, utilizando o valor inicial 941,48, taxa de 1% ao mês e prazo de 6 meses, resultará num montante de 1.667,88. Para alcançar um montante de 1.000 neste caso, seria preciso um valor inicial igual a 564,47 (1.000/1,01^6). Já para os juros simples, o valor inicial de 940 com a mesma taxa e período resultaria no montante de 996,40. Para alcançar o montante de 1.000, seria preciso considerar o valor inicial de 943,39 (1.000/1,01 x 6).

Importe pontuar que o dispositivo legal do CTN limita o cálculo regressivo a uma taxa de 1% ao mês (não pode ser adotada uma taxa de 2% a.m., por exemplo). Essa limitação na taxa de redução concilia o estímulo à compensação com o direito de o fisco receber parcela substancial de sua dívida.

O STJ chegou a raciocínio semelhante no tema 905, entendendo que a correção monetária e a taxa de juros de mora incidentes na repetição de indébitos tributários devem corresponder às utilizadas na cobrança de tributo pago em atraso, e caso não haja disposição legal específica, os juros de mora serão calculados à taxa de 1% ao mês. Esse entendimento tem por base o tratamento paritário entre o contribuinte e o fisco.

De outro giro, os juros decrescentes são aplicados na Justiça do Trabalho, nos casos de estabilidade, pagamento de pensão ou quando o autor, ainda empregado, pleiteia pagamento de algum adicional sobre os salários.

Exemplificando, considere uma ação proposta em 01/09/2013, condenando-se a reclamada a reintegrar o reclamante, que foi demitido em 28/02/2012, e a pagar os salários até a data da reintegração, ocorrida em 15/08/2015. Para atualizar o crédito em 01/11/2015, deve ser considerado o período entre a data da propositura da ação e a data do cálculo, que perfaz 26 meses. Portanto, 26% é o percentual de juros de mora que deve ser aplicado mês a mês sobre os valores vencidos até 31/08/2013. A partir de 01/09/2013 (data da propositura), os valores mensais apurados receberão juros de 25%, 24%, 23% e assim sucessivamente até o final do período de apuração do crédito.

A partir de 2021, a atualização do crédito trabalhista deve ser realizada pela taxa SELIC, que já inclui os juros de mora, conforme decidido pelo STF. O cálculo de juros decrescentes utilizando a taxa SELIC segue a mesma lógica dos juros moratórios.

A atualização pela SELIC é realizada considerando uma tabela de valores mensais do índice disponível no sítio da Receita Federal. O Banco Central possui em seu site uma calculadora que realiza a correção do valor inserido, considerando as datas inicial e final do cálculo. O resultado informa o índice de correção no período, o valor percentual correspondente e o valor corrigido na data final.

O STF julgou inconstitucional o uso da TR na atualização dos créditos trabalhistas, determinando a aplicação do IPCA-E até o ajuizamento da ação e a taxa SELIC após essa data. Para o cálculo, a SELIC deve ser acumulada no período considerado, levando em conta seus valores mensais. Como regra, na data de referência do cálculo, o índice é padronizado em 1%, mesmo que o valor da SELIC neste mês seja diverso. Em seguida, esse índice é somado com os meses anteriores até a data de início.

Um exemplo pode facilitar o entendimento do método de cálculo. Considerando hipoteticamente um índice mensal da SELIC em agosto de 2021 de 1,1%, pretende-se calcular a SELIC acumulada no período de abril de 2021 a agosto de 2021.

Como regra do cálculo, o índice mensal adotado em 08/2021 deve ser de 1%, mesmo que o índice real seja diverso. Em seguida, esse índice padrão é somado ao índice real do mês 08/2021, resultando em 2,1%. Esse é o índice acumulado em 07/2021. Em seguida, ele é somado ao índice mensal de 07/2021, que foi de 1,11%, resultando no acumulado de 3,21% em julho de 2021. Em 06/2021, o índice mensal também foi de 1,11%, resultando no acumulado de 4,32%. Em 05/2021, o índice mensal foi de 1,18%, resultando no acumulado de 5,5%. Em 04/2021, o índice mensal foi de 1,07%, resultando no acumulado de 6,57%. Logo, esse seria o índice acumulado no período entre 04/2021 e 08/2021, calculado de forma retroativa.

Segundo o STF, inicialmente as diferenças salariais devem ser corrigidas pelo IPCA-E, no período entre a data em que deveriam ter sido pagas e a data do ajuizamento da ação, mês a mês. Sobre esse valor atualizado incidirá o índice acumulado da SELIC, calculado na forma acima, tendo como base o período entre a data do ajuizamento da ação e a data final considerada. Como mostrado, o cálculo da SELIC acumulada é retroativo, iniciando pela data final e finalizando na data do ajuizamento da ação.

No direito eleitoral, são feitos cálculos para se chegar ao quociente eleitoral, quociente partidário e distribuição de sobras. Segundo os arts. 45 e 46 da CF/88, os representantes do povo e dos estados serão eleitos segundo o princípio proporcional e majoritário, respectivamente. O princípio proporcional brasileiro segue o método D'Hondt, ou da maior média, positivado nos arts. 106 a 109 do Código Eleitoral.

O quociente eleitoral é a divisão do número de votos válidos pelo número de lugares a preencher. Antes de 2017, somente os partidos que atingissem o quociente eleitoral participavam das sobras. Após a Lei nº 13.488/2017, que alterou o § 2º do art. 109 do CE, todos os partidos que concorreram na eleição podem participar da distribuição das sobras. A Lei nº 13.165/2015 alterou o art. 108 do CE, exigindo votação mínima dos candidatos de 10% do quociente eleitoral.

Por fim, a Lei n° 14.211/2021 alterou o § 2º do art. 109, limitando a participação nas sobras não preenchidas pelo quociente partidário aos partidos que alcançassem 80% do quociente eleitoral e aos candidatos que atingissem 20% deste quociente. Contudo, em maio de 2024, no julgamento da ADI 7228, o STF considerou inconstitucional a aplicação direta dessa limitação, procedendo a uma interpretação conforme. Contra o acórdão foram opostos aclaratórios com efeitos infringentes, mas em junho do mesmo ano a maioria dos ministros antecipou o voto, mantendo em linhas gerais o entendimento exarado.

No direito tributário, o raciocínio matemático é exigido no cálculo da DIFAL (diferença de alíquota) e do imposto “por dentro”. No caso do ICMS, o STF entendeu que o cálculo “por dentro” representa um incremento de 11,11% na alíquota. No entanto, esse raciocínio é incompleto. A equivalência entre as alíquotas de ICMS calculado “por fora” e “por dentro” segue a seguinte fórmula: t= 1/(1-t’). Assim, acréscimos constantes na alíquota t’ resultam em acréscimo exponencial (mais que proporcional) na alíquota t.

Considerando uma alíquota “por fora” de 10%, seu cálculo “por dentro” resulta em uma alíquota de 11,11% (t=1/0,9), na linha da compreensão do STF. Por sua vez, uma alíquota “por fora” de 18% equivale a uma alíquota “por dentro” de 21,95%, um aumento de 22%. Uma alíquota “por fora” de 25% resulta em uma alíquota “por dentro” de 33,33%, configurando aumento de 33,33%. Nas contas de energia e telefonia, o ICMS, PIS e COFINS integram a base de cálculo entre si. Desta forma, a base de cálculo do ICMS inclui o próprio ICMS, PIS e COFINS. Já a base de cálculo da COFINS inclui a CONFINS, PIS e ICMS.

Percebe-se que o aumento da alíquota do ICMS ou IPI calculados “por dentro” não é apenas proporcional (11,11%), como entendeu o STF, mas exponencial, resultando em aumentos crescentes conforme o incremento na alíquota “por fora”. Essa modalidade de cálculo sempre foi objeto de crítica pelos tributaristas, tendo em vista que resulta em uma alíquota efetiva maior que a nominal, em prejuízo à transparência tributária. Nesse sentido, a legislação há muito já obriga bancos, financeiras e seguradoras a informar o CET - Custo Efetivo Total das operações a seus clientes. Idêntico direito deve ter o contribuinte, em especial diante da Lei de Transparência Fiscal (Lei nº 12.741/2012).

Pensando nisso, a reforma tributária advinda com a EC nº 132/2023 e regulamentada pela Lei Complementar nº 214/2025 colocou um fim no cálculo “por dentro”. A reforma prevê uma adoção progressiva do novo sistema, a começar com uma fase de teste em 2026 e efetiva implementação entre 2027 e 2033. A reforma unificou cinco tributos em um só, que será repartido entre os entes federativos. O IVA (Imposto sobre Valor Agregado), comum em países europeus, será composto de duas partes: a Contribuição sobre Bens e Serviços (CBS) a cargo da União, integrada pelos impostos federais PIS, Cofins e IPI; e o Imposto sobre Bens e Serviços (IBS) a cargo dos Estados, DF e Municípios, integrado pelo ICMS (de competência estadual e distrital) e ISS (de competência municipal e distrital).

A reforma tributária também acabou com a incidência em cascata, conhecida como cumulatividade, quando o mesmo tributo é cobrado diversas vezes nas várias etapas da cadeia produtiva, além de impor alíquota zero ou reduzida a inúmeros produtos. Do ponto de vista matemático, a alíquota zero, não incidência, isenção e imunidade possuem o mesmo resultado. Mas juridicamente esses quatro institutos se diferem, já que o restabelecimento da alíquota pode ser feito por ato normativo infralegal, ao passo que a isenção necessita de previsão legal e a imunidade de previsão constitucional.  As alíquotas estaduais de ICMS diferiam espacial e temporalmente, tanto entre os entes subnacionais quanto no decorrer dos anos, com aumentos sucessivos.

A reforma padronizou o IVA em 26,5%, pondo fim ao cálculo da DIFAL. Contudo, o método atual ainda irá vigorar por algum tempo. Em fevereiro de 2025, houve um aumento no ICMS dos combustíveis de 6 centavos por litro. O cálculo do ICMS na gasolina envolve alguns artifícios matemáticos. A alíquota incide sobre o preço final da gasolina praticado nos postos do estado, utilizando uma média de preços. A média é uma medida estatística que representa um conjunto de valores de uma amostra. A base de cálculo da gasolina utiliza o PMPF (preço médio ponderado ao consumidor final), com atribuição de pesos. O PMPF também é utilizado como base de cálculo do ICMS de outros produtos e serviços. A média ponderada segue a seguinte fórmula: Mp= (N1 x p1) + (N2 x p2) + (N3 x p3) / p1 + p2 + p3; onde Nx são os valores da amostra e px são os pesos respectivos.

O petróleo é refinado em torres de refino, que, a depender da altura e temperatura, formam diferentes subprodutos, como gasolina e nafta. À gasolina é adicionado etanol antes de ser comercializada. Em um litro do combustível vendido nos postos, 73% é gasolina e 27% é etanol adicionado por força de lei. O preço da gasolina tem oscilado a depender das condições de mercado, em especial da cotação internacional do barril de petróleo “brent”. Considerando o preço médio no Brasil de R$ 6,35, ele pode ser segmentado em R$ 2,21 na refinaria, R$ 0,69 de impostos federais, R$ 1,47 de ICMS, R$ 0,89 do custo da mistura do etanol e R$ 1,09 do custo de distribuição (frete) e revenda nos postos de combustível.

De fato, o preço da gasolina no Brasil possui um cálculo complexo, incidindo impostos federais no transcurso da cadeia produtiva. Já o ICMS é calculado sobre o valor final de venda, uma vez que sua matriz de incidência envolve a circulação do produto, desde a refinaria até as distribuidoras e revendedoras, de forma não cumulativa. Logo, tanto o método quanto a base de cálculo diferem entre o ICMS e os impostos federais.

Sobre o preço da refinaria incide impostos federais e os custos de frete e distribuição, somando-se ainda a margem de lucro adotada pelos distribuidores e revendedores. O ICMS virá por último, calculado sobre o preço final ao consumidor. Em alguns estados verificou-se que o preço médio ponderado (PMPF) não tem sido observado, incidindo o ICMS sobre o preço máximo praticado pelos postos de combustíveis do estado.

Considerando o preço máximo da gasolina praticado nos postos no valor de R$ 5,60, o valor do ICMS calculado “por fora” com alíquota média de 27,5% será em torno de R$ 1,60. Com o aumento no ICMS em fevereiro de 2025 autorizado pelo CONFAZ, o preço do litro chegou a R$ 7,29. Paradoxalmente, o valor da gasolina nas refinarias reduziu. Caso se considere o valor da gasolina sem a adição de etanol, R$ 2,21, e o preço final de R$ 7,29, percebe-se que a soma dos custos tributários e operacionais após o refino representam 330% do valor da gasolina produzida nas refinarias, com a maior parte vinda do ICMS. 

Caso se adote o cálculo “por dentro”, a alíquota de 27,5% se tornaria uma alíquota efetiva de: t= 1/1-t’, o que dá: t= 1/1-0,275; t=38%. Matematicamente, uma alíquota efetiva de 38% representa um aumento de 38% na alíquota virtual de 27,5%, apenas com o uso deste artifício de cálculo. A demanda dos estados pelo cálculo “por dentro” do ICMS elevaria o preço da gasolina para patamares impraticáveis, pois somaria dois artifícios que tornam o cálculo obscuro para o contribuinte. A incidência da alíquota do ICMS sobre o valor final da gasolina faz com que os estados aumentem a arrecadação com o aumento dos custos após o refino, independentemente da economia resultante do avanço nos processos produtivos. Logo, haverá um desincentivo governamental para redução dos custos operacionais. Mesmo que o valor do litro da gasolina fosse produzido a R$ 1,00, dificilmente sairia na bomba a menos de R$ 5,00, dado o método atual de cálculo do imposto. A mesma realidade se aplica ao preço final do diesel.     

As alíquotas "ad valorem" são praticadas desde o império romano. No entanto, elas têm representado um risco diante da astúcia do fisco. A adoção de um valor fixo para o ICMS dos combustíveis, na forma de uma alíquota específica, tal como já é praticado nos impostos federais, seria uma salvaguarda para o contribuinte. Mas até que a reforma tributária seja efetivamente implementada, estes artifícios de cálculo irão continuar.

De fato, em 1999 o STF entendeu constitucional o cálculo "por dentro" do ICMS, no julgamento do RE 212.209. Doze anos depois, em 2011, a corte referendou esse entendimento no julgamento do RE 582.461. É chegada a hora de a corte rever sua posição sobre esse perigoso artifício matemático, causador de graves distorções nas leis de mercado e no orçamento dos contribuintes.

A matemática também está presente na segurança do trabalho. A CLT prevê a edição de normas de segurança no art. 195. No tocante à insalubridade por vibração, foi editada pelo MTE a NR 15, anexo 8, e a NHO 09 da Fundacentro. Para a concessão em juízo do referido adicional, é necessário juntar à petição inicial perícia que constate o enquadramento na norma, a exemplo dos motoristas de caminhão e operadores de martelo pneumático. Para tanto, é necessário conhecimentos matemáticos além das quatro operações aritméticas.

No caso de motoristas. o enquadramento é realizado calculando-se o valor da dose de vibração, VDV, nos três eixos ortogonais (vibração do corpo inteiro), por meio da fórmula: {0∫t [aj (t)]⁴}¹/⁴ dt [m/s¹,⁷⁵]. A integração representa a soma das vibrações nos três eixos durante o tempo considerado. A fórmula é usada pela fiscalização do trabalho para o enquadramento da insalubridade, onde a aceleração instantânea “aj (t)” em cada eixo é elevada à quarta potência. A unidade da aceleração é m/s², e se torna m⁴/s⁸ quando elevada à quarta potência, e a integração no tempo (dt) resulta na unidade em m⁴/s⁷, o que equivale a cortar uma potência temporal do denominador em virtude da multiplicação pelo tempo. Extraindo-se a raiz quarta de m⁴/s⁷, tem-se como resultado m/s¹,⁷⁵ (7/4 = 1,75). Esta é a unidade de medida adotada para a constatação da insalubridade.

O uso de integrais e derivadas podem facilitar o cálculo dos juros contínuos, usados em contratos financeiros. Na correção monetária e atualização de débitos no Brasil, em regra, é proibido o uso de juros contínuos ou descontínuos compostos, porque caracterizam o anatocismo. No entanto, são extensivamente utilizados no mercado financeiro nacional e internacional. Como exemplo de juros contínuos, considere depósitos de R$ 1.000,00 por ano, rendendo juros contínuos de 5% a.a. Qual o montante após 10 anos?

Para a resolução, aplica-se a fórmula: Fv = ∫Ce^i (n-t), onde C é o capital depositado anualmente, i a taxa de juros anual capitalizada continuamente, “e” é o número de euler e “n” o tempo em anos. Assim, Fv = ∫1.000e^0,5 (10-t) dt; Fv = ∫1.000e^(5e-0,5t) dt; desenvolvendo a integral, temos: Fv = 1.000e^5 ∫e^ - 0,5t dt; Fv = 1.000e^5 [e^ - 0,5(10)/-0,5 – e^ - 0,5(0)/-0,5]; o que resulta Fv = R$ 12.974,43. Na integral definida, a constante 1.000e^5, por não conter nenhuma variável, vai para fora, multiplicando. Para a solução, utilizou-se a fórmula da integral de uma função exponencial de base natural, dada por “e^x+c”, entre os intervalos de 0 e 10 anos. Na prática, o resultado não difere muito dos juros descontínuos compostos.

A natureza composta dos juros, quando há capitalização com incidência de juros sobre juros, foi bastante debatida nos tribunais acerca da adoção do método de cálculo Price. Atualmente, tanto no meio acadêmico quanto jurisprudencial há consenso de que esse método caracteriza anatocismo, bastando para tanto aplicar a fórmula do Valor Presente {VP = VF/(1 + i)t} às prestações e montantes da tabela Price para constatar que são superiores ao método de cálculo dos juros simples. 

De fato, o STJ debateu por diversas ocasiões se o método “price”, usado no SFH, caracterizaria o anatocismo vedado em lei. A corte não firmou uma compreensão sobre o mérito, por entender que se trata de matéria fática, deixando para as instâncias ordinárias a decisão caso a caso. Ocorre que, a despeito de manter as prestações fixas, a "tabela price” obedece à fórmula do valor presente utilizada nos juros compostos, a saber: Vp=Vf/(1+i)^n. Logo, não restam dúvidas que o método price embute juros sobre juros.

Por fim, artifícios matemáticos também eram utilizados no direito administrativo, em especial no cálculo de indenizações por desapropriação. No passado, o uso destes artifícios resultaram em casos rumorosos de enriquecimento sem causa. Para evitar novas lesões aos cofres públicos, a Lei nº 14.620/2023 alterou o Decreto-Lei nº 3.365/41, limitando os juros compensatórios em 6% a.a., a exemplo dos juros moratórios, com vedação de cálculo de juros compostos, conforme entendimento tradicional exposto na Súmula 74 do antigo TFR.

É preciso deixar claro que não há cálculo de juros sobre juros com a incidência das duas modalidades de juros, compensatórios e moratórios. A vedação legal no art. 14 do referido decreto-lei aos juros compostos se refere ao método de cálculo de cada modalidade de juros individualmente considerada. Segundo a Súmula 102 do STJ, o valor da indenização na desapropriação deve ser atualizado primeiramente pelos juros compensatórios, aplicando-se juros simples de 6 a.a., e sobre o resultado podem incidir juros moratórios simples de 6 a.a. Por fim, a Súmula 67 do STJ permite a correção monetária do valor da indenização até o efetivo pagamento, tendo os tribunais adotado o IPCA para esta finalidade.